Ersterscheinung 17.01.2003
von J. Peter Apel

Stand 22.5.2008


Die aerokinetische Grundformel

Die mathematische Ableitung der Grundformel für die Größe des aerokinetischen Auftriebs
The mathematical derivative of the basic formula for the size of the aerokinetic lift

Nach den Newton´schen Gesetzen kann eine kinetische Kraft nur entstehen, wenn Masse beschleunigt wird. Daraus resultiert, daß ein Tragflügel Masse bewegen muß. Der Vorgang entspricht dabei dem Prinzip einer Rakete: Beschleunigung einer Masse zur Erzielung einer Vortriebskraft aus der in der beschleunigten Masse entstehenden Rückstoßkraft.
Der Tragflügel stößt Luftmasse abwärts. Das geschieht quer zu seiner Fläche mittels des Prinzips der schiefen Ebene an Unter- wie Oberseite! Die schiefe Ebene wird durch die Anstellung der Fläche mit dem Anstellwinkel α gegenüber der Bahnlinie erreicht. Dadurch entsteht an der Unterseite Druck und an der Oberseite Unterdruck, Sog. Die so entstehenden, senkrecht zur Fläche verlaufenden Einzelströmungen an Ober- wie Unterseite vereinigen sich hinter der Fläche zu einer durchgehenden Strömung (siehe Durchflug´). Diese heißt Abstrom (anglistisch: down wash) und hat am Flugzeug eine Reichweite in der Größe der Spannweite von oben wie nach unten.

Die Berechnung der aus diesem Vorgang entstehenden Luftkraft senkrecht zu Fläche erfolgt nach der Newton´schen Grundformel für Kräfte in der Form für konstante Geschwindigkeit

F = m dt · vAbstrom.

Dazu muß der Massenfluß m dt in kg/sec festgestellt werden. Massenfluß ist beim Fliegen die pro Sekunde vom Tragflügel nach unten beschleunigte Luftmasse, der Abstrom.
Die Fläche, auf der Luftmasse beschleunigt wird, ist: Breite b der Flügel (Spannweite) mal der Distanz, die das Flugzeug in einer Sekunde zurücklegt. Sie ist mit AL bezeichnet:

AL = b · vFläche . . . . . Dimension m2

Da der Abstrom auf dieser Fläche nicht senkrecht zu ihr fließt, sondern mit der Schräge der Anstellung der Flügelfläche, ist die zum Strömungsvektor gehörige Fläche um den Faktor cos α kleiner.

Die der Luft als Abstrom erteilte Geschwindigkeit vAbstrom ergibt sich aus der folgenden Skizze mit vFlügel · sin α.

Der vom Tragflügel verursachte Massenfluß pro Sekunde ergibt sich aus der Querschittsfläche des Abstroms von A · cos α und dessen Geschwindigkeit von vFlügel · sin α zu:

m dt = ρ · AL · cos α · vFläche · sin α

ρ ist die spez. Masse der Luft.

Aus m dt · v des Abstroms (down wash) auf dem Begegnungsareal AL zwischen einer Fläche und Luft ergibt sich die Grundformel aerokinetischer Kräfte:

___________________________________________
L = ρ · AL · (vDifferenz zwischen Fläche und Luft)2 · (sin α)2 · cos α ___________________________________________

Auftrieb ist definiert als zum Erdboden senkrecht nach oben wirkende Kraft. Ihre Größe vermindert sich gegenüber der Gesamtluftkraft um den Faktor cos α, siehe Skizze.

Die aerokinetische Grundformel für den Auftrieb ergibt sich damit zu:

A = ρ · AL · (vDifferenz zwischen Fläche und Luft)2 · (sin α)2 · (cos α)2


Kräfte entstehen in der Luft nur nach den Newton´schen Gesetzen durch von Flächen verursachte Luftbewegungen. Eine andere Möglichkeit zur kinetischen Kräfteentstehung gibt es nicht.

Das gilt ebenso, wenn eine `Strömung´ auf eine feste Fläche prallt: in ihr verursacht die Fläche identische Luftbewegungen, genau so, als wenn sie sich in der Luft bewegt. Anders ist nur die äußere Perspektive.
Z. B. erzeugen die Windkraftrotorblätter den gleichem Abstrom in/gegen den anblasenden Wind wie die Tragflügel eines Segelflugzeuges ihren Abstrom im/gegen den aufsteigenden Thermik`wind´. Das relative Geschehen zwischen einer Fläche und Luft ist in allen Fällen gleich.

Aus `Dubbels Taschenbuch für den Maschinenbau´, 1961, Band 2, Seite 310:
"Dieses Hauptgesetz der Strömungsmaschinen, die Eulersche Gleichung, sagt aus, daß derjenige Teil der Maschine, der den Drall verändert, das Moment M aufnimmt. über die Art des Strömungsverlaufs im Schaufelrad wird dabei nichts vorgeschrieben: Das Rad kann feststehen oder sich drehen; die Schaufeln können kurz oder lang, mehr oder weniger zahlreich und verschieden geformt sein, wobei je nach Güte der Ausführung die Verluste im Kanal größer oder kleiner sein können. Auch wenn sich bei Gasen und Dämpfen die Dichte zwischen dem Ein- und Austritt ändert, gilt: Das auf ein Schaufelrad wirkende Drehmoment ist gleich dem Produkt aus sekundlich strömender Masse und Dralländerung. "

Diese Aussage, auf den Tragflügel übertragen, ist auch Inhalt für die hier gefundene Formel der Kräftebeziehung zwischen einer angestellten Fläche und Luft bei gegenseitiger Bewegung. Dralländerung entspricht dem der Luft erteilte Impuls aus ihrem üblicherweise innehabenden Ruhezustand zum Abstrom. Dem Drehmoment entspricht an einer Einzelfläche der zu überwindende Widerstand aus der Komponente der Luftkraft in Richtung der Bahnlinie. Parasitäre* Widerstände (*Anderson in `Understanding Flight) wie Reibungs- und Formwiderstand und andere kommen noch ohne Nutzeffekt hinzu. Die relative Vorwärtsbewegung einer Fläche in der Luft entspricht keiner Strömung (Fahrtwind(!)), sondern ist nur Mittel zur Erzeugung des Abstromes über die Wirkung einer schiefen Ebene als `sekundlich strömender Masse´.

Innere Parameter der Luft wie Druckänderungen nach den Bernoulli´schen Beziehungen haben auf die Bildung der Luftkraft keinen grundsätzlichen Einfluß. Diese sind Größen aus der Gaskinetik. Gaskinetik und Aerokinetik sind zwei eigenständige physikalische Geschehnisse ohne gravierende oder grundsätzliche gegenseitige Abhängigkeiten oder Voraussetzungen.

Wird in die Grundformel die Größe für AL mit b · v eingesetzt, ergibt sich mit der Bezeichnung S für die Spannweite eine praktische Formel für den Auftrieb A zu:

A = rho · S · v3 · (sin a)2 · (cos a)2

Es zeigt sich, daß bei konstantem Anstellwinkel der Auftrieb mit der 3ten Potenz zur Geschwindigkeit wächst.

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